У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

Кузбасский государственный технический университет

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-03-30

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 3.2.2025

PAGE  23

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

"Кузбасский государственный технический университет"

Кафедра информационных и автоматизированных

производственных систем

анализ систем автоматического
управления с запаздыванием

Методические указания к лабораторной работе по дисциплине
"Теория автоматического управления" для студентов
специальности 230201 "Информационные системы и технологии"

Составители Г. А. Алексеева

И. В. Чичерин

Утверждены на заседании кафедры

Протокол № 5 от 02.02.2011

Рекомендованы к печати

учебно-методической комиссией

специальности 230201

Протокол № 279 от 11.03.2011

Электронная копия находится

в библиотеке ГУ КузГТУ

Кемерово 2011


1 ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Цель работы – изучение особенностей математического описания и анализа систем автоматического управления (регулирования) с запаздыванием и приобретение практических навыков в исследовании устойчивости и оценке качества систем автоматического регулирования (САР) с запаздыванием.

2 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Система автоматического управления (САУ) с запаздыванием – это система, в которой имеется звено, обладающее тем свойством, что реакция на его выходе отстает по времени на некоторую величину , называемую временем чистого запаздывания. Это звено называется звеном чистого запаздывания, описываемого во временной области уравнением

,     (1)

а в частотной области передаточной функцией (ПФ):

.     (2)

В работе рассматриваются САР с запаздыванием, в которых звено чистого запаздывания находится в прямой цепи системы и не охвачено местной обратной связью. Структурная схема такой САР приведена на рис. 1, где  – ПФ разомкнутой части САР без учета запаздывания,

 

Рисунок 1 – Структурная схема САР с запаздыванием

имеющая вид

,     (3)

где А(р), В(р) – полиномы от параметра р. ПФ разомкнутой части САР с учетом запаздывания имеет вид

,    (4)

а ПФ САР с запаздыванием:

.    (5)

Характеристическое уравнение САР с запаздыванием имеет вид

  (6)

и характеризуется тем, что в него входит иррациональный оператор .

ПФ САР с запаздыванием (5) не является дробно-рациональной, что затрудняет анализ таких систем стандартными методами теории автоматического управления (ТАУ).

Из-за наличия запаздывания рассматриваемые САР описываются не дифференциальными уравнениями, а уравнениями с запаздывающим аргументом. Например, апериодическое звено первого порядка с запаздыванием вместо уравнения

описывается уравнением

.

Анализ САР с запаздыванием предполагает решение тех же задач, что и САР без запаздывания, а именно:

  •  исследование устойчивости;
  •  оценка качества регулирования. Дополнительно имеет место задача нахождения критического времени чистого запаздывания.

2.1 Анализ устойчивости САР с запаздыванием

Так как  характеристическое уравнение САР с запаздыванием (6) является трансцендентным, то применение алгебраических критериев является достаточно сложным. Поэтому для анализа САР с запаздыванием в работе используются частотные критерии Михайлова и Найквиста.

2.1.1 Критерий Михайлова

Характеристический полином для САР с запаздыванием определяется выражением

.    (7)

Заменив p на j, получим

.  (8)

Выделив вещественную и мнимую части выражения (8), можно записать:

. (9)

Каждая часть выражения (9) содержит колебательные по характеру составляющие, что отражается на форме годографа Михайлова.

Для устойчивости САР с запаздыванием по критерию Михайлова необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частоты от 0 до + повернулся в положительном направлении (против часовой стрелки), начиная с вещественной положительной полуоси, на число квадрантов, равное порядку характеристического уравнения, то есть на угол n/2, при этом нигде не обращаясь в нуль. Годограф Михайлова для устойчивой САР с запаздыванием при n = 4 приведен на рисунке 2.

Рисунок 2 – Годограф Михайлова

2.1.2 Критерий Найквиста

Для устойчивости САР с запаздыванием по критерию Найквиста необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от 0 до + годограф Найквиста  не охватывал точку с координатами (-1, j0).

Годограф Найквиста для САР с запаздыванием строится следующим образом.

Сначала строят годограф Найквиста для САР без запаздывания, заменив в выражении (3) p на j. Годограф Найквиста для САР без запаздывания приведен на рисунке 3 (кривая ). Затем каждый вектор, соответствующий частоте , поворачивается на угол . И так для всех частот от 0 до +. В итоге получается годограф Найквиста для САР с запаздыванием .

                                                               

                           

                                                                        

                                                               

Рисунок 3 – Годографы Найквиста для САР
без запаздывания () и с запаздыванием ()

2.1.3 Построение области устойчивости

Область устойчивости для САР с запаздыванием строится на основе критерия Михайлова.

На границе устойчивости годограф Михайлова проходит через начало координат, причем так, что весь остальной ход годограф Михайлова  соответствует условию устойчивости. Так как при прохождении годографа Михайлова через начало координат  = 0, то уравнения

   (10)

определяют границу области устойчивости по одному параметру. Область устойчивости изображается либо на плоскости двух параметров, либо в пространстве параметров, входящих в коэффициенты уравнений (10). Пример области устойчивости для САР с запаздыванием приведен на рисунке 4. Внутри очерченной этими границами области в какой-либо точке проверяется весь ход годографа Михайлова, чтобы убедиться, что выделенная область является областью устойчивости.

Рисунок 4 – Область устойчивости

2.1.4 Определение критического времени запаздывания

Для определения критического значения времени запаздывания используется критерий Найквиста. Критическое время запаздывания  – это время, при котором САР с запаздыванием будет находиться на границе устойчивости. В этом случае годограф Найквиста  будет проходить через точку (-1, j0), что показано на рисунке 5.

Это значит, что при некоторой  частоте

.  (11)

Отсюда имеем, что

.    (12)


Рисунок 5 – Годограф Найквиста для САР с запаздыванием
на границе устойчивости

Рисунок 6 – Графическое определение критического
времени запаздывания

Графическое определение  приведено на рисунке 6. В этом случае строится годограф Найквиста , а затем проводится окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Через точку пересечения годографа Найквиста и единичной окружности проводится радиус. Угол, образуемый этим радиусом и линией -, представляет значение

.     (13)

Зная угол и значение частоты , соответствующей точке пересечения по выражению (12), определяют .

2.2 Оценка качества регулирования САР с запаздыванием

Для САР с запаздыванием используются такие же оценки качества регулирования, что и для САР без запаздывания, которые приведены в методических указаниях [5]. Отличие состоит только в определении времени регулирования  и интегральных оценок качества регулирования.

Кривые переходного процесса для САР без запаздывания (кривая 1) и с запаздыванием (кривая 2) приведены на рисунке 7, где ,  – соответственно время регулирования для САР без запаздывания и с запаздыванием.

       y(t)                     1                      2

       

y()

                                     

                                                                                                                

                                                   

Рисунок 7 – Кривые переходного процесса для САР
              с запаздыванием и без запаздывания

Как видно из графиков на рисунке 7, время регулирования для САР с запаздыванием

.    (14)

Интегральная оценка для САР c запаздыванием определяется в соответствии со схемой на рисунке 8.

        y(t)

                           II                                     I

 y()

                                                                                          t

                                           

Рисунок 8 – Схема определения интегральной оценки
для САР с запаздыванием

В отличие от САР без запаздывания, для которой интегральная оценка определяется выражением

   (15)

и равна площади криволинейной трапеции I, для САР с запаздыванием

,   (16)

где первое слагаемое характеризует площадь прямоугольника, ограниченного временем чистого запаздывания .


3 ПРИМЕРЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
САР С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

3.1 Анализ устойчивости САР с запаздыванием
по критерию Михайлова и построение области устойчивости

Пусть САР с запаздыванием задана структурной схемой, приведенной на рисунке 9, где k1 = 0,5; k2 = 1; T1 = 2; T2 = 4;
= 0,5.

     y*(p)                                                                                            y(p) 

Рисунок 9 – Пример САР с запаздыванием

ПФ разомкнутой части САР:

,   (17)

а ПФ самой САР:

.  (18)

Тогда характеристическое уравнение САР с запаздыванием имеет вид

.  (19)

Заменив в выражении (19) p на j, получим уравнение вида

. (20)

Тогда вещественная и мнимая части выражения (20) определяются уравнениями:

.  (21)

Подставив значения коэффициентов в уравнения (21),
имеем:

.  (22)

Для оценки устойчивости САР с запаздыванием по критерию Михайлова произведены расчёты по уравнениям (22). Результаты расчета приведены в таблице 1, а годограф Михайлова – на рисунке 10.

Таблица 1 – Результаты расчета по критерию Михайлова

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1

∞

U()

0,5

0,44

0,26

-0,04

-0,51

-1,02

-5,56

- ∞

V()

0

0,07

0,09

0,01

-0,21

-0,62

-7,24

- ∞

Годограф Михайлова, приведенный на рисунке 10, показывает, что САР с запаздыванием устойчива.

САР  находится на границе устойчивости в соответствии с условиями (10), если вещественная и мнимая части (21) равны 0, т. е.

.   (23)

Рисунок 10 – Годограф Михайлова для САР с запаздыванием

Для построения области устойчивости в области заданного параметра  = 0,5 и в координатах k2 и Т2 подставим в выражения (23) значения k1, Т1 и . В итоге имеем систему уравнений:

.  (24)

Для решения системы уравнений (24) разрешим каждое уравнение относительно k2:

  •  из первого уравнения

k2 = ;    (25)

  •  из второго уравнения

k2 = .    (26)

Приравняем выражения (25) и (26):

= .

Тогда имеем, что

.

После преобразования имеем

.

В итоге получим, что

Т2.     (27)

Результаты расчета по выражениям (25) и (27) приведены  в  таблице 2, а граница области устойчивости – на рисунке 11.

Таблица 2 – Значение параметров k2 и Т2

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

k2

0

0,83

0,93

1,09

1,34

1,65

2,03

2,5

3,06

3,71

4,47

Т2

39,60

9,60

4,04

2,09

1,19

0,69

0,40

0,20

0,06

-0,04


Рисунок 11 – Построение области устойчивости
для САР с запаздыванием

3.2 Анализ устойчивости САР с запаздыванием
по критерию Найквиста и определение
критического времени запаздывания

Для оценки устойчивости САР с запаздыванием по критерию Найквиста предварительно строится годограф Найквиста для САР без запаздывания. Передаточная функция разомкнутой части САР без запаздывания в соответствии с выражением (17) имеет вид

W0(p) = .   (28)

Раскрыв скобки в знаменателе и подставив значения коэффициентов, имеем, что

W0(p) = .    (29)

Заменив р на j получим, что

W0(j) = .   (30)

Тогда

  (31)

Результаты расчета значений годографа Найквиста для САР без запаздывания приведены в таблице 3, а сам годограф – на рисунке 12.

Таблица 3 – Значения годографа Найквиста для САР

без запаздывания

0

0,1

0,2

0,3

0,3536

0,4

0,5

1

+ ∞

Р()

-3

-2,49

-1,58

-0,90

-0,67

-0,51

-0,30

-0,04

0

Q()

-∞

-3,81

-0,89

-0,14

0

+0,06

+0,10

+0,04

0

Для построения годографа Найквиста для САР с запаздыванием необходимо найти углы поворота i при каждой частоте, используемой для построения годографа Найквиста. Значения углов поворота приведены в таблице 4, а годограф Найквиста для САР с запаздыванием приведён на рисунке 12.

Таблица 4 – Значения углов поворота

0

0,1

0,2

0,3

0,3536

0,4

0,5

1

∞

i

0

5,7о

11,5о

17,2о

20,3о

22,3о

28,7о

57,3о

0

Рисунок 12 – Годограф Найквиста для САР с запаздыванием

и без запаздывания

Критическое время запаздывания кр определяется в соответствии с выражениями (11) и (12), с учётом условия, что амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)

Аp() = А0() = 1,    (32)

так как наличие звена чистого запаздывания не меняет амплитуду. Частота 0, при которой АЧХ равна 1, находится из условия (32). Тогда для рассматриваемой САР имеем

.   (33)

Выражение (33) можно преобразовать в выражение вида

  (34)

или

.

Подставив в (34) значения коэффициентов, имеем, что

.   (35)

Из выражения (35) необходимо найти частоту 0, при которой АЧХ равна 1. Значение 0 находится методом последовательного приближения, так как непосредственное нахождение корней уравнений (35) является достаточно сложной задачей. Результаты поиска значения 0 приведены в таблице 5, где знак > указывает превышение, а знак < непревышение значения 0,25. В итоге получено, что с точностью 0,15

0 = 0,2857.

                                                                                                                  

Таблица 5 – Таблица значений поиска частоты

0

0,1

0,2

0,3

0,25

0,28

0,29

0,285

0,286

0,2855

0,2857

0,25

0,012

0,076

0,2987

0,1563

0,2332

0,2636

0,2445

0,2506

0,2491
0,2497

<

<

>

<

<

>

<

>

<
0,25

Определим значение 0 (0).

При  0 = 0,2857.

P0(0) = – 0,98, a Q0(0) = – 0,20.

Тогда  .

Итак  .

В итоге  ,

т. е.   кр = 11,69 с.

4 ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

  1.  Ознакомиться с методами анализа устойчивости САР с запаздыванием, построением области устойчивости  и определением критического времени запаздывания, а также оценками качества регулирования.
  2.  Получить передаточные функции и дифференциальные уравнения САР с запаздыванием по задающему и возмущающему воздействиям в соответствии с заданным вариантом для САР, структурные схемы которых приведены в таблице 6, их передаточные функции в таблице 7, а значения коэффициентов в
    таблице 8.
  3.  Оценить устойчивость САР с запаздыванием для нечетных вариантов по критерию Михайлова, а для четных – по критерию Найквиста. Если САР с запаздыванием неустойчива, то необходимо построить область устойчивости в плоскости параметров k1 и T1 для нечетных вариантов и в плоскости параметров k2 и T2 для четных вариантов и скорректировать их для устойчивости САР. Если САР с запаздыванием устойчива, то необходимо определить критическое время запаздывания кр.
  4.  Определить прямые оценки качества регулирования для САР с запаздыванием и без запаздывания и интегральные оценки качества регулирования.
  5.  Оформить и защитить отчет по лабораторной работе.

Таблица 6 – Структурные схемы САР с запаздыванием

№ САУ

Структурные схемы САУ

I

Продолжение таблицы 6

№ САУ

Структурные схемы САУ

II

III

IV

Таблица 7 – Передаточные функции элементов САР

№ варианта

№ САУ

W1(p)

W2(p)

W3(p)

1

I

Продолжение таблицы 7

№ варианта

№ САУ

W1(p)

W2(p)

W3(p)

2

II

3

III

4

IV

5

I

6

II

7

III

8

IV

9

I

10

II

11

III

12

IV


Таблица 8 – Значения коэффициентов передаточных функций

№ варианта

k1

k2

k3

T1

T2

T3

T4

1

2

3

–

1,5

2

3

4

–

1,2

2

1,4

0,6

–

1,8

2,5

4

–

0,5

1,2

3

2

1,4

1,2

2

4

1,2

2,4

–

0,9

4

2,2

1,1

0,9

1,8

4

3

–

–

1,4

5

1,4

2

–

2

4

2,5

–

0,6

1,5

6

2,4

1,7

0,8

4

3

–

–

–

2

7

2,5

2,1

1,2

1,4

2

3

–

0,5

1,2

8

0,9

4,1

2

2,4

3

–

–

0,7

1,4

9

3

1,8

–

2

1,1

0,8

2,5

–

1,3

10

1,6

2,3

–

3

2

1,8

–

–

0,9

11

1,8

–

–

1,1

3,2

3

2

–

1,3

12

1,2

2,8

–

4

3

2

–

–

1,4

5 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

  1.  Основной недостаток САР с запаздыванием.
  2.  Отличие годографа Михайлова для САР с запаздыванием и без запаздывания.
  3.  Особенность построения годографа Найквиста для САР с запаздыванием.
  4.  В плоскости каких параметров может строиться область устойчивости для САР с запаздыванием?
  5.  Что характеризует критическое время запаздывания?
  6.  Отчего зависит время регулирования в САР с запаздыванием?
  7.  Отличие интегральных оценок для САР с запаздыванием и без запаздывания.
  8.  Что влияет на величину интегральной оценки качества регулирования?


6 СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

  1.  Гурецкий, Х. Анализ и синтез систем управления с запаздыванием: пер. с пол. / Х. Гурецкий. – М.: Машиностроение, 1974. – 328 с.
  2.  Попов, Е. П. Теория систем автоматического регулирования и управления / Е. П. Попов. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. – 304 с.
  3.  Егоров, К. В. Основы теории автоматического регулирования / К. В. Егоров. – М.: Энергия, 1967. – 648 с.
  4.  Расчет оценок качества регулирования: метод. указания к лабораторной работе по курсу «Теория автоматического управления» для студентов специальности 220301 «Автоматизация технологических процессов и производств (в машиностроении)» / сост.: И. В. Чичерин, Г. А. Алексеева, И. А. Штефан; ГУ КузГТУ. – Кемерово, 2009. – 29 с.

СОДЕРЖАНИЕ

[1] 1 ЦЕЛЬ РАБОТЫ

[2] 2 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

[2.1] 2.1 Анализ устойчивости САР с запаздыванием

[2.1.1] 2.1.1 Критерий Михайлова

[2.1.2] 2.1.2 Критерий Найквиста

[2.1.3] 2.1.3 Построение области устойчивости

[2.2] 2.2 Оценка качества регулирования САР с запаздыванием

[3]
3 ПРИМЕРЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
САР С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

[3.1] 3.1 Анализ устойчивости САР с запаздыванием
по критерию Михайлова и построение области устойчивости

[3.2] 3.2 Анализ устойчивости САР с запаздыванием
по критерию Найквиста и определение
критического времени запаздывания

[4] 4 ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

[5] 5 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

[6] 6 СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[7] СОДЕРЖАНИЕ


Составители

Галина Алексеевна Алексеева

Иван Владимирович Чичерин

Анализ систем автоматического

управления с запаздыванием

Методические указания к лабораторной работе по дисциплине
"Теория автоматического управления" для студентов

специальности 230201 "Информационные системы и технологии"

Печатается в авторской редакции

Подписано в печать           .Формат 6084/16.

Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе. Уч.-изд. л. .

Тираж 45 экз. Заказ

ГУ КузГТУ. 650000, Кемерово, ул. Весенняя, 28.

Типография ГУ КузГТУ. 650000, Кемерово, ул. Д. Бедного, 4 А.


EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

jV()

U()

n = 4

-1

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

P()

jQ()

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

T

k

неуст.

уст.

EMBED Equation.3

-1

P()

jQ()

-1

EMBED Equation.3

P()

jQ()

t

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

= 0

jV()

U()

0,1

-1

-0,51

0,5

-0,21

-0,62

4

EMBED MSPhotoEd.3

(1;4)

Т2

3

2

неуст.

1

уст.

k2

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

            -4        -3        -2        -1

Wp(j)

Wo(j)

jQ()

Р()

V(p)

W(p)

W2(p)

W1(p)

W3(p)

Y*(p)

Y(p)

W(p)

W2(p)

W1(p)

W3(p)

Y*(p)

V(p)

Y(p)

W(p)

W1(p)

Y*(p)

V(p)

Y(p)

W2(p)

W3(p)

Y(p)

W(p)

W1(p)

Y*(p)

V(p)

W2(p)

W3(p)




1.  Загальні вимоги безпеки- 1
2. тема- сущность критерии типы Выполнила- студентка 1 курса Специальности- Учет и аудит 1-3гр.html
3. Лекция 8 Общая характеристика деятельности при задержке психического развития Вопросы- Особеннос
4. Реферат- Китай накануне национальной революции 1925-1927 годов.html
5. то впечатление. Это как бы собирательный портрет трехлетнего говоруна но каждый ребенок развивается индиви.html
6. З курсу Історія української літератури давньої Предмет історії давньої української літератури
7. модуль 1. Рослинна клітина 1
8. куку Эта игра позволит ребенку комфортнее чувствовать себя в этом мире даст ощущение надежности ~ ведь вы
9. САКУМСГаличина ул
10.  Роль витаминов в обмене веществ патофизиологические изменения в организме при гиповитаминозах

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе